20210306

3時半就寝, 10時起床。

家で Hartshorne ゼミの準備。 20時からゼミ。

Excersise III.3.6 (b) の解答で一同悩んだが, K君がその場で次のように考えた。

$\mathscr{I}$ を任意の $\mathfrak{Qcoh}(X)$ の injective object とすると, (3.6)より $\mathscr{I}$ は flasque な $\mathfrak{Qcoh}(X)$ の元 $\mathscr{G}$ に埋め込める。 しかし $\mathscr{I}$ の injectiveness よりこの埋め込みは($\mathfrak{Qcoh}(X)$ の中で) split する。 任意の $X$ の開集合 $U\supset V$ に対し, $\mathscr{G}(U) \to \mathscr{G}(V)$ は全射だから, $\mathscr{I}(U) \to \mathscr{I}(V)$ もそう。 よって $\mathscr{I}$ は flasqueである。

いやーびっくりした。めちゃ簡潔。

Hint に謎な事を書いていた Hartshorne も真っ青である。